*** Détermination d'une longueur

On considère un triangle \(\text{BIP}\) rectangle en \(\text{B}\) tel que \(\text{PB}=3~\text{cm}\) et \(\text{BI}=4~\text{cm}\).
On note \(\text{H}\) le projeté orthogonal du point \(\text{B}\) sur la droite \((\text{IP})\).

1. Calculer la longueur \(\text{IP}\).

2. a. Développer le carré scalaire \(\left(\overrightarrow{\text{BI}}+\overrightarrow{\text{IP}}\right)^2\).
    b. En déduire la valeur du produit scalaire \(\overrightarrow{\text{IP}}\cdot\overrightarrow{\text{IB}}\).

3. En calculant le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{IP}}\cdot\overrightarrow{\text{IB}}\) d'une autre façon, déterminer la longueur \(\text{IH}\).